三角函数

三角函数是数学里向顶顶常见个一类关于角度的函数。三角函数奈直角三角形个内角同道伊个两边个比值相关联起来的，阿可以等价个用啦哈单位圆有关个各种线段个长度来落定义。常见三角函数包括正弦函数（$\sin$）、余弦函数（$\cos$）和正切函数（$\tan$或者$\operatorname {tg}$）。勒航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数另外个三角函数。不一色一样个三角函数之间个关系可以通过几何直观或者计算得出，叫做三角恒等式。

三角函数： 正弦, 余弦, 正切, 正割（连线）, 余割（连线）, 余切（连线）

三角函数个历史介绍

18世纪开始，随着解析几何等分析学工具个引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿来伊个1669年个《分析学》一书中畀出了正弦搭余弦函数个无穷级数表示。卡琳拿牛顿做出来个结果讲畀詹姆斯·格列高里听，伊进一步证明出来个正切等三角函数个无穷级数。莱布尼兹拉1673年左右也独立得到了迭一结果。欧拉个《无穷小量分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）对建立三角函数个分析处理做了最主要个贡献，伊定义三角函数为无穷级数，写出个欧拉公式，还有使用接近现代个英文字母sin.、cos.、tan.、cot.、sec.和cosec.。

几何定义

直角三角形中个定义

a, b, h为角A个对边、邻边搭斜边

在直角三角形中仅有锐角（大小在0到90度之间的角）三角函数个定义。给定一个锐角$\theta$，可以做出一个直角三角形，让其中个一个内角是$\theta$。设迭个三角形中，$\theta$个对边、邻边搭斜边长度分别是$a$、$b$搭$h$，箇么

$\theta$个正弦是对边与斜边个比值：$\sin {\theta }={\frac {a}{h}}$

$\theta$个余弦是邻边与斜边个比值：$\cos {\theta }={\frac {b}{h}}$

$\theta$个正切是对边与邻边个比值：$\tan {\theta }={\frac {a}{b}}$

$\theta$个余切是邻边与对边个比值：$\cot {\theta }={\frac {b}{a}}$

$\theta$个正割是斜边与邻边个比值：$\sec {\theta }={\frac {h}{b}}$

$\theta$个余割是斜边与对边个比值：$\csc {\theta }={\frac {h}{a}}$

直角坐标系中个定义

设$p$($x$，$y$)是平面直角坐标系Template:Math中个一个点，$\theta$是横轴正向${\vec {Ox}}$逆时针旋转到${\vec {OP}}$方向所形成个角，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是$P$到原点$O$个距离，则$\theta$个六个三角函数定义为：

正弦：	$\sin \theta ={\frac {y}{r}},$	正切：	$\tan \theta ={\frac {y}{x}},$	正割：	$\sec \theta ={\frac {r}{x}},$
余弦：	$\cos \theta ={\frac {x}{r}},$	余切：	$\cot \theta ={\frac {x}{y}},$	余割：	$\csc \theta ={\frac {r}{y}}.$

箇浪可以对0到360度个角度定义三角函数。要注意个是以上个定义侪只拉定义式有意义个辰光成立。比方讲当$x=0$ 个辰光，${\frac {y}{x}}$搭${\frac {r}{x}}$侪没意义，迭说明对于90度角搭270度角，正切搭正割没定义。同样个，对于0度角搭180度角，余切搭余割没定义。

基本性质

啦哈直角坐标系平面高头画f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)函数个图。

从几何定义中可以推导出咾多三角函数个性质。比方讲，正弦函数、正切函数、余切函数搭余割函数是奇函数，余弦函数搭正割函数是偶函数。正弦搭余弦函数个图像形状一样（看正手边个图），可以看作是沿坐标横轴平移得到个两个函数。正弦搭余弦函数关于$x={\frac {\pi }{4}}$轴对称。正切函数搭余切函数、正割函数搭余割函数也是噶套迭个。

三角恒等式

弗同个三角函数之间存在咾多对任意个角度取值侪成立个等式，被称为三角恒等式。其中最著名个是毕达哥拉斯恒等式，伊说明对于任何角，正弦个平方加上余弦个平方总是1。箇好从斜边为1个直角三角形用勾股定理得出哉。用符号表示出来个言语，毕达哥拉斯恒等式为：

$\sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1.$