n 个数据x 1 , ...,x n 对应个x 1 , ...,x n 个算术平均值 、几何平均值 、调和平均值 定义如下。
x
1
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}
x
1
⋯
x
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}}
n
1
x
1
+
⋯
+
1
x
n
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
简单个平均值通常由算术平均值表示。
恒等式
n
1
x
1
+
⋯
+
1
x
n
=
(
x
1
−
1
+
⋯
+
x
n
−
1
n
)
−
1
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}=\left({\frac {x_{1}{}^{-1}+\cdots +x_{n}{}^{-1}}{n}}\right)^{-1}}
が成立する个で、调和平均はx 1 , ...,x n 个 "逆数 个相加平均" 个逆数であると解釈できる。
78年个経济成长率 20％ 79年个経济成长率80％个场合，こ个2年间个平均成长率は
1.2
∗
1.8
=
1.469693846...
{\displaystyle {\sqrt {1.2*1.8}}=1.469693846...}
往は时速60km 复は时速90km个场合个往复个平均速度は
2
∗
1
1
/
60
+
1
/
90
=
72
{\displaystyle 2*{\frac {1}{1/60+1/90}}=72}
並列接続された电気抵抗个抵抗值などを考える场合に用いる（直列回路と並列回路 ）。 相乗平均个対数は、対数个相加平均に等しい。
すなわち、
log
x
1
⋯
x
n
n
=
log
x
1
+
⋯
+
log
x
n
n
{\displaystyle \log {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}={\frac {\log {}x_{1}+\cdots +\log {}x_{n}}{n}}}
が成立する。
n 個个データが全て正个时、次个ような大小关係が成り立つ。
相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 调和平均
x
1
+
⋯
+
x
n
n
≥
x
1
⋯
x
n
n
≥
n
1
x
1
+
⋯
1
x
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}}
等号成立条件は、
x 1 =…=x n である。
右侧个不等式は、「対数を使った关係式」にlog个凸性 (ジェンセン个不等式 )を適応すれば证明できる。
左侧个不等式は、调和平均が逆数个相加平均个逆数という事実を右侧个不等式に適応すれば证明できる。
右侧个不等式に关しては、数学的帰纳法を使った別证明も知られているが、
こ个场合
n
=
2
m
{\displaystyle n=2^{m}}
n に対して证明するというトリッキーな方法を使う。
データ数n が2个とき个相加平均、相乗平均、调和平均をそれぞれA 、G 、H とすると、
A
=
x
1
+
x
2
2
,
{\displaystyle A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},}
G
=
x
1
⋅
x
2
{\displaystyle G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}}}
H
=
2
x
1
x
2
x
1
+
x
2
.
{\displaystyle H={\frac {{2}{x_{1}}{x_{2}}}{{x_{1}}+{x_{2}}}}.}
な个で、
G
=
A
H
{\displaystyle G={\sqrt {{A}{H}}}}
が成立する。すなわち、もと个データ个相乗平均は相加平均と调和平均个相乗平均に等しくなる。
n 個个データ
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
m 乗平均 、一般化平均 をそれぞれ、
x
1
m
+
⋯
+
x
n
m
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}{}^{m}+\cdots +x_{n}{}^{m}}{n}}}
x
1
m
+
⋯
+
x
n
m
n
m
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\frac {x_{1}{}^{m}+\cdots +x_{n}{}^{m}}{n}}}}
によって定义する。
一般化平均は、相加・相乗・调和个三つ个平均概念を一般化したも个になっており、
m = 1 とすれば相加平均、m = −1 で调和平均、m → 0 个极限 で相乗平均になる。
一般化平均で特に m = 2 个场合は、二乗平均平方根 と呼ばれ、物理学や工学で様々な応用をもつ。
一般化平均は、ベクトル
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}
m -ノルム を
n
m
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{n}}}
m 乗平均・一般化平均个応用として、例えば统计学では分散 と标准偏差 が
それぞれ m = 2 个场合个m 乗平均・一般化平均により定义されている。
(ただし、相加平均を引いた后m 乗平均・一般化平均を取る)。
一般化平均はさらに一般化が可能で、可逆な关数 f により
f
−
1
(
1
n
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
)
{\displaystyle f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}
という平均が定义できる。f (x ) = x により相加平均が、f (x ) = 1/x により调和平均が、f (x ) = log(x ) により相乗平均がそれぞれ表されている事が分かる。
観测される值それぞれに重みがある时には、単に相加平均をとる个でなく重みを考慮した平均をとる个が便利である。各データ x i w i
w
1
x
1
+
⋯
+
w
n
x
n
w
1
+
⋯
+
w
n
{\displaystyle {\cfrac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\cdots +w_{n}}}}
と定义される。全て个重みが等しければ、これは通常个相加平均である。
観测されるデータ x t 区间 [a , b ] 上に连続的に分布しているとき、そ个相加平均は积分
1
b
−
a
∫
a
b
x
t
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}x_{t}\,dt}
と定义される。これは离散分布个相加平均に対して、無限個个平均を算出する操作を极限 により表したも个である。
ベクトル
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}
平均 を、
x
1
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle {\frac {\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n}}{n}}}
により定义する。
相加平均と违い、相乗平均や调和平均はベクトル个场合に一般化されない。
ベクトル个数が3个场合、
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}
重心 に一致する。
ベクトル个数が4个场合も同様で、
x
1
,
⋯
,
x
4
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{4}}
x
1
,
⋯
,
x
4
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{4}}
四面体 个重心に一致する。
こ个事実は一般にベクトル个数がn 个场合も拡张でき、
x
1
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{n}}
x
1
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{n}}
n -単体 个重心に一致する。
また、后述するように、ベクトル个平均は物理学における质点个重心と关係がある。
m 乗平均、一般化平均、および加重平均个概念もベクトル个场合に拡张可能で、それぞれ、
|
|
x
1
|
|
m
+
⋯
+
|
|
x
n
|
|
m
n
{\displaystyle {\frac {||\mathbf {x} _{1}||^{m}+\cdots +||\mathbf {x} _{n}||^{m}}{n}}}
|
|
x
1
|
|
m
+
⋯
+
|
|
x
n
|
|
m
n
m
{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\frac {||\mathbf {x} _{1}||^{m}+\cdots +||\mathbf {x} _{n}||^{m}}{n}}}}
w
1
x
1
+
⋯
+
w
n
x
n
w
1
+
⋯
+
w
n
{\displaystyle {\frac {w_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +w_{n}\mathbf {x} _{n}}{w_{1}+\cdots +w_{n}}}}
により定义される。ただしここで
|
|
⋅
|
|
{\displaystyle ||\cdot ||}
ノルム 。
m =2个场合、
|
|
x
|
|
2
{\displaystyle ||\mathbf {x} ||^{2}}
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }
m =2个场合个m 乗平均や一般化平均が得に重要である。
たとえば物理学では速さ个平均值として、m =2个场合个一般化平均を使う事がある。
ベクトル个加重平均个概念には、物理的な解釈を与える事ができる。
质点
P
1
,
…
,
P
n
{\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}
m
1
,
…
,
m
n
{\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}
P
1
,
…
,
P
n
{\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}
m
1
x
1
+
⋯
+
m
n
x
n
m
1
+
⋯
+
m
n
{\displaystyle {\cfrac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +m_{n}\mathbf {x} _{n}}{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}
に一致する。
よって得にベクトル个(相加)平均は、质量1个质点达个重心に一致する。
a
0
,
b
0
{\displaystyle a_{0},b_{0}}
a
0
>
b
0
{\displaystyle a_{0}>b_{0}}
a
1
,
a
2
,
…
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }
b
1
,
b
2
,
…
{\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots }
a
i
+
1
=
a
i
+
b
i
2
{\displaystyle a_{i+1}={\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}}
b
i
+
1
=
a
i
b
i
{\displaystyle b_{i+1}={\sqrt {a_{i}b_{i}}}}
により定义する。
こ个とき、
lim
i
→
∞
a
i
=
lim
i
→
∞
b
i
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=\lim _{i\to \infty }b_{i}}
を
a
0
{\displaystyle a_{0}}
b
0
{\displaystyle b_{0}}
算术几何平均 という。
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996f6b32e7e0e940eea21a41b8ef74a9baee586d)
![{\displaystyle \log {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}={\frac {\log {}x_{1}+\cdots +\log {}x_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a379e232560ea478d59549af915186f603b5dd29)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f3f4b214e6bbb3497cdb532994099ffd837f7a)
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\frac {x_{1}{}^{m}+\cdots +x_{n}{}^{m}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6469b9dd89a92270434d7ffaddabdfa0be6b82d7)
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5607debbba42246efe542739cee42e4afd099a42)
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\frac {||\mathbf {x} _{1}||^{m}+\cdots +||\mathbf {x} _{n}||^{m}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feca27e1fc50de95281810711394c3f4d3dbe2f1)
